Question

4．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，E和F分别是棱CD和PC的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面PCD；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）先推导出四边形ABED是矩形，从而AB⊥平面PAD，进而CD⊥PD，CD⊥EF，CD⊥BE，由此得到CD⊥平面BEF，由此能证明平面BEF⊥平面PCD．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，利用向量法能求出直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．

解答 证明：（1）∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，
∵AB∥CD，∴CD=2AB，
∴AB∥DE，且AB=DE，∴四边形ABED是矩形，
∴BE∥AD，BE=AD，AB⊥AD，
∵AB⊥PA，又PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，且CD⊥AD，
又∵在平面PCD中，EF∥PD，∴CD⊥EF，
∵EF∩BE=E，∴EF?平面BEF，BE?平面BEF，
又CD⊥BE，∴CD⊥平面BEF，
∵CD?平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．
解：（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标角系，
∵PB=BC=BD=$\sqrt{6}$，CD=2AB=2$\sqrt{2}$，∠PAD=120°，
∴PA=$\sqrt{P{B}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{6-2}$=2，AD=BE=$\sqrt{B{D}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{6-2}$=2，
BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2+2}$=2，
则P（0，-1，$\sqrt{3}$），D（0，2，0），B（$\sqrt{2}，0，0$），C（2$\sqrt{2}$，2，0），
$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BP}$=（-$\sqrt{2}，-1，\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{2}，2，0$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=\sqrt{2}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-\sqrt{2}x-y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{2}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}，-1$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
设直线PD与平面PBC所成的角为θ，
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PD}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{PD}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-3-1}{\sqrt{12}•\sqrt{\frac{10}{3}}}$|=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．