Question

8．给出下列四个命题：
①当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
②△ABC中，sinA＞sinB当且仅当A＞B；
③已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，若S₇＞S₅，则S₉＞S₃；
④函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
其中正确命题的序号为②③．

Answer 1

分析 通过特例判断①的正误；
②由sinA＞sinB，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论；
③利用等差数列的性质，可得结论；
④由于函数y=f（1+x）的图象可由函数y=f（x）的图象左移一个单位得到，函数y=f（1-x）=f（-（x-1））图象可由y=f（-x）的图象右移一个单位得到，而函数y=f（x）和y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，易得函数y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称．

解答 解：对于①当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2，不正确，例如x=$\frac{1}{2}$，左侧是负数，不正确；
②若sinA＞sinB成立，由正弦定理可得a＞b，所以A＞B．反之，若A＞B成立，所以a＞b，
因为a=2RsinA，b=2RsinB，所以sinA＞sinB，所以sinA＞sinB是A＞B的充要条件，正确；
③∵S₇＞S₅，∴a₆+a₇＞0，S₉-S₃=a₉+a₈+a₇+a₆+a₅+a₄，∵{a_n}是等差数列∴a₉+a₈，a₇+a₆，a₅+a₄也为等差数列，且三者之和为2（a₇+a₆）＞0，∴正确；
④由于函数y=f（x）和y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，函数y=f（1+x）的图象可由函数y=f（x）的图象左移一个单位得到，函数y=f（1-x）=f（-（x-1））图象可由y=f（-x）的图象右移一个单位得到，∴函数y=f（1+x）和y=f（1-x）的图象关于直线x=0对称．
正确命题的序号为②③．
故答案为：②③

点评 本题考查基本不等式，正弦定理，等差数列的性质，图象的对称性，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．