Question

14．如图，点E是平行四边形ABCD的对角线BD的n（n∈N且n≥2）等分点中最靠近点D的点，线段AE的延长线交CD于点F，若$\overrightarrow{AF}$=x$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，则x=$\frac{1}{n-1}$．（用含有n的代数式表示）

Answer 1

分析 根据E为n等分点，从而有$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DB}$，这样便可得到$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{n-1}{n}\overrightarrow{AD}$，A，E，F三点共线，从而可得到$\overrightarrow{AF}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{（n-1）k}{n}\overrightarrow{AD}$，这样根据平面向量基本定理便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{n}=x}\\{\frac{（n-1）k}{n}=1}\end{array}\right.$，从而可以求出x的值．

解答 解：根据条件，$\overrightarrow{DE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{DB}$；
∴$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}=\frac{1}{n}（\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}）$；
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{n-1}{n}\overrightarrow{AD}$；
$\overrightarrow{AF}$与$\overrightarrow{AE}$共线；
∴$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE}=\frac{k}{n}\overrightarrow{AB}+\frac{（n-1）k}{n}\overrightarrow{AD}$；
又$\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{k}{n}=x}\\{\frac{（n-1）k}{n}=1}\end{array}\right.$；
∴$x=\frac{1}{n-1}$．
故答案为：$\frac{1}{n-1}$．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量减法的几何意义，以及共线向量基本定理，平面向量基本定理，向量的数乘运算．