Question

2．已知点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{x-1≤0}\\{2x+3y-5≤0}\\{4x+3y-1≥0}\end{array}\right.$，点Q（x，y）在圆（x+2）²+（y+2）²=1上，则|PQ|的最大值与最小值分别是6；$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域和圆的图象，根据圆的性质，转化为求圆心到区域内的最大值和最小值，然后结合与半径的关系进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域以及圆的图象，
圆心E（-2，-2）到AB：4x+3y-1=0的距离d=$\frac{|-2×4-3×3-1|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{18}{5}$，
即圆心E到平面区域的最小距离为$\frac{18}{5}$，
则|PQ|的最小距离为d-1=$\frac{18}{5}$-1=$\frac{13}{5}$，
圆心E到区域的最大值为AE，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+3y-5=0}\\{4x+3y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，即A（-2，3）．
此时AE|=3-（-2）=5，
|PQ|的最大距离为|AE|+1=5+1=6，
故答案为：6，$\frac{13}{5}$

点评 本题主要考查线性规划的应用，转化为求圆心到区域的最值问题是解决本题的关键．注意使用数形结合进行求解．