Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax-2a²lnx．
（1）若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．
（2）证明：$\sum_{i=2}^{n}$$\frac{1}{lni}$＞$\frac{n-1}{n}$（n≥2，且n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，通过讨论a的范围，结合函数的单调性，从而求出a的范围即可；
（2）构造函数g（x）=x-1-$\frac{lnx}{x}$，结合函数的单调性得到g（x）≥0，裂项求和即可．

解答 解：（1）f′（x）=x-a-$\frac{{2a}^{2}}{x}$=$\frac{{x}^{2}-ax-{2a}^{2}}{x}$=$\frac{（x-2a）（x+a）}{x}$，
若函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，则f′（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
a＜0时：令f′（x）＞0，解得：x＞-a或x＜2a，
∴-a≥1即a≤-1，
a=0时：f（x）=$\frac{1}{2}$x²在区间[1，+∞）递增，符合题意，
a＞0时：令f′（x）＞0，解得：x＞2a或x＜-a，
∴2a≥1，解得：a≥$\frac{1}{2}$，
综上，a的范围是：（-∞，-1]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）∪{0}；
（2）令g（x）=x-1-$\frac{lnx}{x}$，g（x）的定义域为（0，+∞）；
g′（x）=1-$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
则①当0＜x＜1时，N（x）＜0，则g′（x）＜0，
②当x＞1时，g′（x）＞0，
则g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
则g（x）_min=g（1）=0
∴g（x）≥0可得，x²-x≥lnx（x＞0）
令x=k≥2，
则k²-k＞0，lnk＞0，k²-k＞lnk；
则$\frac{1}{lnk}$＞$\frac{1}{{k}^{2}-k}$=$\frac{1}{k（k-1）}$=$\frac{1}{k-1}$-$\frac{1}{k}$，
则$\frac{1}{ln2}$+$\frac{1}{ln3}$+$\frac{1}{ln4}$+…$\frac{1}{lnn}$＞1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$．

点评 本题综合性很强，考查了导数的综合应用，不等式的证明及裂项求和的方法，属于难题．