Question

12．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（-x+1）$，若f（a-1）＜-1，则a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据f（x）在（-∞，0]上为增函数，结合奇偶性得出f（x）在（0，+∞）上为减函数，
利用将f（a-1）＜-1=f（-1）=f（1）转化成绝对值不等式|a-1|＞1，求出解集即可．

解答 解：∵f（x）是R上的偶函数，且x≤0时，$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（-x+1）$是单调增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
又∵f（a-1）＜-1=f（-1）=f（1），
∴|a-1|＞1，
解得a＞2或a＜0；
∴a的取值范围是（-∞，0）∪（2，+∞）．

点评 本题考查了函数的奇偶性与分段函数的应用问题，也考查了函数的单调性与不等式的应用问题，是综合题．