Question

2．已知由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-kx≤2}\\{y-x-4≤0}\\{\;}\end{array}\right.$（k≤0）确定的平面区域Ω的面积为7，点M（x，y）∈Ω，则z=$\frac{1}{2}x$+y的最大值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据阴影部分确定对应的面积，求出k的值，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：依题意画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$所表示的平面区域（如右图所示）
可知其围成的区域是等腰直角三角形面积为8，
由直线y=kx+2恒过点B（0，2），且原点的坐标恒满足y-kx≤2，
当k=0时，y≤2，此时平面区域Ω的面积为6，
由于6＜7，由此可得k＜0．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-kx=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，可得D（$\frac{2}{k-1}$，$\frac{4k-2}{k-1}$），
依题意应有$\frac{1}{2}×2•|\frac{2}{k-1}|=1$，
解得k=-1（k=3，舍去）
由z=x-2y得y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≤0}\\{y≥0}\\{y+x≤2}\\{y-x-4≤0}\end{array}\right.$对应的平面区域如图（阴影部分）：
由z=$\frac{1}{2}x$+y得y=-$\frac{1}{2}x$+z
平移直线y=-$\frac{1}{2}x$+z，
由图象可知当直线y=-$\frac{1}{2}x$+z，过点D时，直线y=-$\frac{1}{2}x$+z截距最大，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y+x=2}\\{y-x-4=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=3}\end{array}\right.$，即D（-1，3）．
代入目标函数z=$\frac{1}{2}x$+y=-$\frac{1}{2}$+3=$\frac{5}{2}$．
∴目标函数z=$\frac{1}{2}x$+y的最大值是$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，先根据区域面积求出k的值，以及利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．