Question

19．等差数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且满足S₁₅＞0，S₁₆＜0，则下列选项中最大的为（　　）

• A． $\frac{{S}_{6}}{{a}_{6}}$
• B． $\frac{{S}_{7}}{{a}_{7}}$
• C． $\frac{{S}_{9}}{{a}_{9}}$
• D． $\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$

Answer 1

分析 由等差为数列前n项和公式得到a₈＞0，a₉＜0，d＜0，从而Sn最大值为S₈，前8项中S_n递增，从而S_n最大且a_n取最小正值时$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$有最大值．

解答 解：∵等差数列前n项和S_n=$\frac{d}{2}$•n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
∵S₁₅=15a₈＞0，S₁₆=16×$\frac{{a}_{8}+{a}_{9}}{2}$＜0，
∴a₈＞0，a₉＜0，d＜0，
∴Sn最大值为S₈．
又d＜0，a_n递减，前8项中S_n递增，
∴S_n最大且a_n取最小正值时$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$有最大值，
即$\frac{{S}_{8}}{{a}_{8}}$最大．
故选：D．

点评 本题考查等差数列中前n项和与第n项的比值最大的项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．