Question

14．已知点P为抛物线y²=2x上一点，A（2，1）为定点，动点M（x，y）满足$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，求动点M的轨迹方程．

Answer 1

分析 设P的坐标为P（m，n），得到$\overrightarrow{AP}$=（m-2，n-1），$\overrightarrow{AM}$=（x-2，y-1），然后根据$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，求出P点的坐标，进而代入抛物线方程即可得答案．

解答 解：设点P的坐标为（m，n），
则$\overrightarrow{AP}$=（m-2，n-1），$\overrightarrow{AM}$=（x-2，y-1），
∵$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{AM}$，
∴m-2=2（x-2），n-1=2（y-1），
∴m=2x-2，n=2y-1，
即点P坐标为（2x-2，2y-1）
而点P在抛物线y²=2x上，
因此有（2y-1）²=2（2x-2），
即（y-$\frac{1}{2}$）²=x-1．
∴动点M的轨迹方程为（y-$\frac{1}{2}$）²=x-1．

点评 本题主要考查通过向量的有关运算求轨迹方程的问题．对向量的有关题型比如：求模、求夹角、求垂直以及平行等的问题一定要强化练习，是高考的热点问题．