Question

18．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，都有$f（x）＞0，f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$．则f（2015）=（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 先求出函数的周期，再求出f（1），然后f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=f（1+2）=$\frac{1}{f（1）}$=1．

解答 解：∵f（（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=$\frac{1}{f（x+2）}$=$\frac{1}{\frac{1}{f（x）}}$=f（x），
所以函数f（x）是周期为4的函数，
∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3），
∵对任意x∈R，都有$f（x）＞0，f（x+2）=\frac{1}{f（x）}$，
令x=-1得，f（1）=$\frac{1}{f（-1）}$=$\frac{1}{f（1）}$，
∴f（1）=1，
∵f（3）=f（1+2）=$\frac{1}{f（1）}$=1，
故选D．

点评 本题主要考查函数的周期性和奇偶性，属于基础题．