Question

5．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（ωx-$\frac{π}{4}$）是最小正周期为π的偶函数，求ω和a的值．

Answer 1

分析 由题意可得f（-x）=f（x），化简可得$\sqrt{2}$sinωx=$\sqrt{2}$a•sinωx，a=1．由此求得f（x）=$\sqrt{2}$•cosωx，再根据它的周期为π，求得ω的值．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（ωx-$\frac{π}{4}$）为偶函数，∴f（-x）=f（x），
sin（-ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（-ωx-$\frac{π}{4}$）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-asin（ωx-$\frac{π}{4}$），
∴-sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+asinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+acosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-asinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+acosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
化简可得 $\sqrt{2}$sinωx=$\sqrt{2}$a•sinωx，∴a=1，
f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）-sin（ωx-$\frac{π}{4}$）=（sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$+cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）-（sinωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$-cosωx•$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ）
=$\sqrt{2}$•cosωx．
∴函数的周期为T=$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
综上可得，ω=2，a=1．

点评 本题主要考查三角汗水的奇偶性和周期性，两角和差的正弦公式，属于基础题．