Question

20．数列{a_n}满足a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有a_m+n=a_m+a_n+mn，则 $\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{a_{2012}}$ 等于$\frac{4024}{2013}$．

Answer 1

分析 由a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，令m=1可得：a_n+1=a_n+a₁+n，即a_n+1-a_n=1+n，利用“累加求和”即可得到a_n，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：由a₁=1，且对任意的m，n∈N^*都有：a_m+n=a_m+a_n+mn，
令m=1可得：a_n+1=a_n+a₁+n，∴a_n+1-a_n=1+n，
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）
=1+2+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴a_n=$\frac{1}{2}$n（n+1），
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴$\frac{1}{a_1}$+$\frac{1}{a_2}$+$\frac{1}{a_3}$+…+$\frac{1}{a_{2012}}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2012}$-$\frac{1}{2013}$）=2（1-$\frac{1}{2013}$）=$\frac{4024}{2013}$，
故答案为：$\frac{4024}{2013}$

点评 本题考查数列的前2013项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．