Question

15．已知函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数$f（x）={log_{\sqrt{3}}}（x+a）$的图象上．
（1）求实数a的值；                
（2）解不等式f（x）＜${log_{\sqrt{3}}}a$；
（3）函数h（x）=|g（x+2）-2|的图象与直线y=2b有两个不同的交点时，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用a⁰=1，令x-2=0，则x=2，求得g（2）=2，代入f（x），即可求得a=1；
（2）运用对数函数的单调性，当a＞1时，f（x）在x＞0上递增，解不等式即可得到；
（3）求出h（x），分别画出y=h（x）与y=2b的图象，由图象可知：0＜2b＜1，即可求出b的范围．

解答 解：（1）函数g（x）的图象恒过定点A，当x-2=0时，即x=2，y=2，
∴A点的坐标为（2，2），
又A点在f（x）上，
∴f（2）=$lo{g}_{\sqrt{3}}（2+a）$=a，解得a=1，
（2）f（x）＜${log_{\sqrt{3}}}a$，
∴$lo{g}_{\sqrt{3}}（x+1）$＜$lo{g}_{\sqrt{3}}1$=0，
∴0＜x+1＜1，
∴-1＜x＜0，
∴不等式的解集为（-1，0），
（3）由（1）知g（x）=g（x）=2^x-2+1，
∴h（x）=|g（x+2）-2|=|2^x-1|=2b，
分别画出y=h（x）与y=2b的图象，如图所示：
由图象可知：0＜2b＜1，故b的取值范围为$（{0，\frac{1}{2}}）$

点评 本题考查指数函数的图象的特点，考查对数函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题．