Question

3．已知命题p：f（x）在R上为偶函数，在区间（-∞，0）上递增，且有f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3）成立；命题q：不等式x²+2ax+2a≤0有解，若命题“p或q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 假设p真，由偶函数的性质可得f（x）在（0，+∞）上递减，f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3），可得2a²+a+1＞2a²-2a+3，解不等式可得a的范围；假设q真，可得判别式不小于0，解不等式可得a的范围；再由“p或q”是假命题，可得p假q假，可得不等式组，解得a的范围即可．

解答 解：若p真，有2a²+a+1=2（a+$\frac{1}{4}$）²+$\frac{7}{8}$＞0，
2a²-2a+3=2（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{2}$＞0，
由f（x）在R上为偶函数，在区间（-∞，0）上递增，
可得f（x）在（0，+∞）上递减，
由f（2a²+a+1）＜f（2a²-2a+3），可得
2a²+a+1＞2a²-2a+3，解得a＞$\frac{2}{3}$；
若q真，不等式x²+2ax+2a≤0有解即为△≥0，
即有4a²-8a≥0，解得a≥2或a≤0．
由命题“p或q”是假命题，可得p假q假，
即有$\left\{\begin{array}{l}{a≤\frac{2}{3}}\\{0＜a＜2}\end{array}\right.$，解得0＜a≤$\frac{2}{3}$．
则实数a的取值范围是（0，$\frac{2}{3}$]．

点评 本题主要考查命题的真假和运用，考查函数的性质和运用，考查不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．