Question

14．已知a+b=1，对?a，b∈（0，+∞），$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|+|2x+1|恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 根据基本不等式的性质，利用1的代换求出$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9，然后根据不等式恒成立，结合绝对值不等式的性质进行求解即可．

解答 解：（1）∵a＞0，b＞0 且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$）=5+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥9，
故$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值为9，（5分）
（2）∵对 于a，b∈（0，+∞），使$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$≥|2x-1|+|2x+1|恒成立，
所以，|2x-1|+|2x+1|≤9，（7分）
即|x-$\frac{1}{2}$|+|x+$\frac{1}{2}$|≤$\frac{9}{2}$，
若x≥$\frac{1}{2}$，则不等式等价为x-$\frac{1}{2}$+x+$\frac{1}{2}$≤$\frac{9}{2}$，
即2x≤$\frac{9}{2}$，则$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{9}{4}$，
若-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，则不等式等价为-x+$\frac{1}{2}$+x+$\frac{1}{2}$≤$\frac{9}{2}$，
即1≤$\frac{9}{2}$成立，此时，-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
若x≤-$\frac{1}{2}$，则不等式等价为-（x-$\frac{1}{2}$）-（x+$\frac{1}{2}$）≤$\frac{9}{2}$，
即-2x≤$\frac{9}{2}$，则-$\frac{9}{4}$≤x≤-$\frac{1}{2}$，
综上-$\frac{9}{4}$≤x≤$\frac{9}{4}$．                                   （10分）

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，利用基本不等式，结合绝对值不等式的解法是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．