Question

16．已知圆C₁的圆心为点C₁（3，0），并且圆C₁过点$A（2，\sqrt{3}）$．
（1）求圆C₁的方程；
（2）求圆C₁的过点（1，-4）的切线方程；
（3）若圆C₂：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0，是否存在m使得圆C₁与圆C₂内含，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出圆的半径，即可求圆C₁的方程；
（2）分类讨论，利用圆心到直线的距离d=r，即可求解；
（3）求出两个圆的圆心距小于半径差，即可判断是否存在m值满足题意．

解答 解：（1）由题意，r=$\sqrt{（3-2）^{2}+（0-\sqrt{3}）^{2}}$=2，
∴圆C₁的方程为（x-3）²+y²=4；
（2）x=1，满足题意；
斜率存在时，设方程为y+4=k（x-1），即kx-y-k-4=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，∴k=$\frac{3}{4}$，
∴切线方程为3x-4y+19=0，
∴圆C₁的过点（1，-4）的切线方程为x=1或3x-4y+19=0；
（3）圆C₁：x²+y²-2mx+4y+m²-5=0，化为：（x-m）²+（y+2）²=9；圆心（m，-2），半径为3．
圆C₁与圆C₂内含，则C₁C₂＜3-2．即$\sqrt{（m-3）^{2}+（-2-0）^{2}}$＜1，显然无解，
∴不存在m值，使得圆C₁与圆C₂内含．

点评 本题主要考查圆的标准方程，切线方程，两圆的位置关系的判定方法，属于中档题．