Question

18．（1）已知${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}=3$，求x²+x^-2的值；
（2）设4^a=5^b=m，且$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先求出x+x^-1=7，再求出x²+x^-2的值．
（2）由已知得$\frac{1}{a}=lo{g}_{m}4，\frac{1}{b}=lo{g}_{m}5$，由此利用对数性质及运算法则能求出m的值．

解答 解：（1）∵${x^{\frac{1}{2}}}+{x^{-\frac{1}{2}}}=3$，
∴（${x}^{\frac{1}{2}}+{x}^{-\frac{1}{2}}$）²=x+x^-1+2=9，
解得x+x^-1=7，
∴x²+x^-2=（x+x^-1）²-2=81-2=79．
（2）∵4^a=5^b=m，∴a=log₄m，b=log₅m，
∴$\frac{1}{a}=lo{g}_{m}4，\frac{1}{b}=lo{g}_{m}5$，
∵$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
∴log_m4+log_m25=log_m100=1，
解得m=100．
∴m的值为100．

点评 本题考查对数式、指数式的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数、指数运算法则的合理运用．