Question

11．已知f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x²+2x+3，
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出f（x）的草图（要求：要标出与坐标轴的交点，顶点），然后写出f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若函数y=a的图象与y=f（x）的图象恰有两个交点，求实数a的取值范围？

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数奇偶性的性质即可求f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据分段函数结合一元二次函数的图象和性质进行求解即可；
（Ⅲ）利用数形结合进行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x²+2x+3，
∴f（0）=0，
当x＜0，则-x＞0，即f（-x）=-x²-2x+3=-f（x），
即f（x）=x²+2x-3，x＜0，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x+3，}&{x＞0}\\{0}&{x=0}\\{{x}^{2}+2x-3，}&{x＜0}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）在所给的坐标系中画出f（x）的草图如图：
则f（x）的单调增区间为：[-1，0）；（0，1]．
单调递减区间为（-∞，-1]；[1，+∞）．
（Ⅲ）若函数y=a的图象与y=f（x）的图象恰有两个交点，
则由图象知a=4或a=-4或-3≤a≤3．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数解析式的求解，利用函数奇偶性的对称性结合一元二次函数的图象和性质是解决本题的关键．