Question

16．已知函数f（x）及其导数f′（x），若存在x₀，使得f（x₀）=f′（x₀），则称x₀是f（x）的一个“巧值点”．下列函数有“巧值点”的是①③④（填序号）
①f（x）=x² ②$f（x）=\frac{1}{e^x}$   ③f（x）=lnx   ④$f（x）=x+\frac{1}{x}$．

Answer 1

分析 根据“巧值点”的定义，对①②③④五个命题逐一判断即可得到答案．

解答 解：①中的函数f（x）=x²，f′（x）=2x．要使f（x）=f′（x），则x²=2x，解得x=0或2，可见函数有巧值点；
对于②中的函数，要使f（x）=f′（x），则e^-x=-e^-x，由对任意的x，有e^-x＞0，可知方程无解，原函数没有巧值点；
对于③中的函数，要使f（x）=f′（x），则lnx=$\frac{1}{x}$，

由函数f（x）=lnx与y=$\frac{1}{x}$的图象知，它们有交点，因此方程有解，原函数有巧值点；
对于④中的函数，要使f（x）=f′（x），则x+$\frac{1}{x}$=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，即x³-x²+x+1=0，
设函数g（x）=x³-x²+x+1，g′（x）=3x²+2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，
显然函数g（x）在（-1，0）上有零点，原函数有巧值点．
故有“巧值点”的函数为①③④．
故答案为：①③④

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查导数的应用，突出等价转化思想与数形结合思想的考查，属于中档题．