Question

12．若正数x，y满足x+y=xy，求x+2y的最小值．

Answer 1

分析 先将条件化为$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1的形式，再用贴1法和基本不等式求原式的最小值，注意取等条件的分析和确定．

解答 解：因为x+y=xy，两边除以xy得，$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=1，
所以，x+2y=（x+2y）•1
=（x+2y）•（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$）
=1+2+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$（其中x＞0，y＞0）
≥3+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，
当且仅当：x=$\frac{2+\sqrt{2}}{2}$，y=$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$时，取“=”，
即x+2y的最小值为：$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查运用基本不等式求最值，以及取等条件的分析和确定，并运用了贴“1”法，体现了整体思想，属于中档题．