Question

17．求函数f（x）=$\frac{x}{a}$+$\frac{a}{x}$（a＞0）在x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 先用基本不等式得出函数单调区间的分界点，再对参数a分三类讨论，求出各范围的最小值，最后再综合．

解答 解：根据基本不定式，$\frac{x}{a}$+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{a}•\frac{a}{x}}$=2，
当且仅当：x=a时，取“=”，
所以，函数f（x）在[1，2]上的最小值需讨论如下：
①当0＜a＜1时，函数f（x）在[1，2]上单调单调递增，
所以f（x）_min=f（1）=a+$\frac{1}{a}$；
②当1≤a≤2时，f（x）的最小值已由基本不等式得出，
即f（x）_min=f（a）=2；
③当a＞2时，函数f（x）在[1，2]上单调单调递减，
所以，f（x）_min=f（2）=$\frac{2}{a}$+$\frac{a}{2}$．
综合以上讨论得，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{1}{a}，a∈（0，1）}\\{2，a∈[1，2]}\\{\frac{2}{a}+\frac{a}{2}，a∈（2，+∞）}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查了运用基本不等式求最值，以及双勾函数性质的运用，还体现了分类讨论的思想，属于中档题．