Question

8．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为三角形内一点，且S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA，求证：|PA|²+|PB|²=5|PC|²．

Answer 1

分析 确定P是Rt△ABC的重心，利用三角形中线公式，可得PA²+PB²=5PC²，从而可得结论．

解答 证明：已知△ABC是直角三角形，AB为斜边，记AB=c，BC=a，CA=b，则有c²=a²+b²．
∵S_△PAB=S_△PBC=S_△PCA，
∴P是Rt△ABC的重心．
设m_c，m_a，mb分别表示Rt△ABC的对应边AB，BC，CA上的中线，则有
PC=$\frac{2mc}{3}$，PA=$\frac{2ma}{3}$，PB=$\frac{2mb}{3}$．
而三角形中线公式为4（mc）²=2a²+2b²-c²=c²，
4（ma）²=2b²+2c²-a²，4（mb）²=2c²+2a²-b²．
∴4（ma）²+4（mb）²=5c²，
∴4（ma）²+4（mb）²=20（mc）²，
∴PA²+PB²=5PC²．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查三角形中线公式，考查学生的计算能力，属于中档题．