Question

18．某高校在2015年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，成绩都为整数且全部分布在[160，185]．按成绩分5组[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]，画出如下部分频率分布直方图．观察图形，根据给出的信息，回答下列问题：

（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样选取6名学生进入第二轮面试，求：
①第3、4、5组每组各选取多少名学生进入第二轮面试？
②高校决定从参加二轮面试的6名学生中随机选派2名到北京大学学习交流，求这两人在同一分数段的概率．

Answer 1

分析 （1）利用$\frac{频率}{组距}=0.07$，然后画出频率分布直方图．
（2）求出第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．基本事件构成集合Ω元素个数，在同一分数段内的事件所含基本事件个数，求出概率．

解答 解：（1）因为各组的频率和等于1，故第2组的频率：f₂=1-（0.01+0.06+0.04+0.02）×5=0.35
$\frac{频率}{组距}=0.07$
其频率分布直方图如图所示．

（2）因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为：
第3组：$\frac{30}{60}×6=3$人，第4组：$\frac{20}{60}×6=2$人，
第5组：$\frac{10}{60}×6=1$人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人．
将[170，175）分数段的3人编号为A、B、C，将[50，60）[175，180）分数段的2人编号1、2，[180，185]分数段的1人编号为P从中任取两人，则基本事件构成集合Ω={{A，B}，{A，C}{A，1}，{A，2}，{A，P}，{B，C}，{B，1}，{B，2}，{B，P}，{C，1}，{C，2}，{C，P}，{1，2}，{1，P}，{2，P}}共有15个，其中，在同一分数段内的事件所含基本事件为{A，B}，{A，C}{B，C}，{1，2}，共4个，故概率$p=\frac{4}{15}$．

点评 本题考查频率分布直方图的应用，古典概型概率的求法，是基础题．