Question

20．已知椭圆C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且椭圆上点到椭圆C₁左焦点距离的最小值为$\sqrt{2}$-1．
（1）求C₁的方程；
（2）设直线l同时与椭圆C₁和抛物线C₂：y²=4x相切，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率和最小距离a-c，解方程可得a=$\sqrt{2}$，c=1，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线y=kx+m，联立椭圆和抛物线方程，运用判别式为0，解方程可得k，m，进而得到所求直线的方程．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由椭圆的性质可得，a-c=$\sqrt{2}$-1，
解方程可得a=$\sqrt{2}$，c=1，
则b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）直线l的斜率显然存在，可设直线l：y=kx+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由直线和椭圆相切，可得△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，
即为m²=1+2k²，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由直线和抛物线相切，可得△=（2km-4）²-4k²m²=0，
即为km=1，②
由①②可得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=\sqrt{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{m=-\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
即有直线l的方程为y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\sqrt{2}$或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率和最小距离a-c，考查直线方程的求法，注意运用联立直线方程和曲线方程，运用判别式为0，考查运算能力，属于中档题．