Question

15．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，O为原点，A（a，0），B（0，b），点O到直线AB的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过M（0，2）作倾斜角为锐角的直线l交椭圆C于不同的两点P，Q，
（1）若$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，求直线l的方程；
（2）若以PQ为直径的圆过左焦点，求直线l．

Answer 1

分析 （Ⅰ）写出直线AB的方程，由点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得到关于a，b的关系式，结合椭圆离心率及隐含条件求得a，b，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得到$\overrightarrow{MP}$，$\overrightarrow{MQ}$的坐标，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0得到k的范围，再由根与系数的关系结合$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MQ}$求得k值，则直线l的方程可求．
（2）由椭圆方程求出椭圆的左焦点坐标，由以PQ为直径的圆过左焦点，可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0．展开后结合根与系数的关系求得k值，则直线l的方程可求．

解答 解：（Ⅰ）∵A（a，0），B（0，b），
∴直线AB的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，即bx+ay-ab=0，
∵点O到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴$\frac{|ab|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，①
∵离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，②
联立①②得：a²=2，b²=1，
∴所求椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，2），
∴$\overrightarrow{MP}$=（x₁，y₁-2），$\overrightarrow{MQ}$=（x₂，y₂-2），
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+2，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²+8kx+6=0，
∵直线l交椭圆C于不同的两点P，Q，
∴△=（8k）²-24（2k²+1）＞0，解得：${k}^{2}＞\frac{3}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{6}{2{k}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{MP}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{MQ}$，
∴${x}_{1}=\frac{2}{3}{x}_{2}$，
即$\frac{5}{3}{x}_{2}=\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}$，$\frac{2}{3}{{x}_{2}}^{2}=\frac{6}{2{k}^{2}+1}$，
消去x₂得：${k}^{2}=\frac{25}{14}$，得$k=±\frac{5\sqrt{14}}{14}$．
∵直线l的倾斜角为锐角，∴k=$\frac{5\sqrt{14}}{14}$．
∴直线l的方程为y=$\frac{5\sqrt{14}}{14}$x+2．
（2）椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$的左焦点F₁（-1，0），
$\overrightarrow{{F}_{1}P}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}）$，$\overrightarrow{{F}_{1}Q}=（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$．
由题意可知：$\overrightarrow{{F}_{1}P}•\overrightarrow{{F}_{1}Q}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=0．
即（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
∴$（1+{k}^{2}）•\frac{6}{2{k}^{2}+1}+（2k+1）•\frac{-8k}{2{k}^{2}+1}+5=0$．
解得：k=$\frac{11}{8}$．
∴直线l的方程为y=$\frac{11}{8}x+2$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，常采用联立直线方程和圆锥曲线方程，化为关于x的一元二次方程后，利用根与系数的关系求解，注意点到直线的距离公式和向量知识的合理运用，是中档题．