Question

12．已知c＞0，设命题p：函数y=c^x为减函数．命题q：函数f（x）=cx²-x+c在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上恒大于零．若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出p，q为真时的c的范围，根据p，q一真一假得到关于c的不等式组，解出即可．

解答 解：由命题p为真可知，0＜c＜1，
由命题q为真可知，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2c}≤\frac{1}{2}}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2c}≥2}\\{f（2）≥0}\end{array}\right.$或△=1-4c²＞0，
∴$c＞\frac{1}{2}$，
由题意得，p，q一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{c≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c≥1}\\{c＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴$0＜c≤\frac{1}{2}或c≥1$．

点评 本题考查了复合命题的判断，考查二次函数、指数函数的性质，是一道基础题．