Question

1．已知sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=$\frac{4}{5}$，且β是第三象限角，则cos$\frac{β}{2}$的值等于（　　）

• A． ±$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． ±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• C． -$\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． -$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 由两角差正弦函数得sinβ=-$\frac{4}{5}$，由此利用同角三角函数关系式和半角公式能求出cos$\frac{β}{2}$的值．

解答 解：∵sin（α-β）cosα-cos（α-β）sinα=$\frac{4}{5}$，且β是第三象限角，
∴由两角差正弦函数得：sin[（α-β）-α]=$\frac{4}{5}$，
∴sin（-β）=$\frac{4}{5}$，∴sinβ=-$\frac{4}{5}$，
∵β是第三象限角，∴$\frac{β}{2}$是第二象限或第四象限角，
∴cosβ=-$\sqrt{1-（-\frac{4}{5}）^{2}}$=-$\frac{3}{5}$，
∴cos$\frac{β}{2}$=±$\sqrt{\frac{1+（-\frac{3}{5}）}{2}}$=±$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两角差正弦函数、同角三角函数关系式、半角公式的合理运用．