Question

8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）
（1）求f（3）+f（-1）
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a-1）＜-1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的性质即可求f（3）+f（-1）
（2）根据函数奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（3）若f（a-1）＜-1，将不等式进行转化即可求实数a的取值范围．

解答 解：（I）∵f（x）是定义在R上的偶函数，x≤0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），
∴f（3）+f（-1）=f（-3）+f（-1）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$4+log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-2-1=-3；
（II）令x＞0，则-x＜0，f（-x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）=f（x）
∴x＞0时，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1），
则f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（-x+1），}&{x≤0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），}&{x＞0}\end{array}\right.$．
（Ⅲ）∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）在（-∞，0]上为增函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数
∵f（a-1）＜-1=f（1）
∴|a-1|＞1，
∴a＞2或a＜0

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．