Question

7．（Ⅰ）已知两点P₁（4，9），P₂（6，3），求以P₁P₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）求过两个点A（2，-3）和B（-2，-5），且圆心在直线l：x-2y-3=0上的圆的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出P₁P₂的中点，可得圆心，再求出半径，即可求以P₁P₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）设圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用点A（2，-3）和B（-2，-5）在圆上，圆心在直线l：x-2y-3=0上，建立方程组，即可求出圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）设P₁P₂的中点为C，
由中点坐标公式得，C（5，6），半径$r=|C{P_1}|=\sqrt{10}$…（3分）
故，以P₁P₂为直径的圆的方程为：（x-5）²+（y-6）²=10…（5分）
（Ⅱ）设圆的方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0，圆心为$（-\frac{D}{2}，-\frac{E}{2}）$…（2分）
又点A（2，-3）和B（-2，-5）在圆上，圆心在直线l：x-2y-3=0上，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{13+2D-3E+F=0}\\{29-2D-5E+F=0}\\{-\frac{D}{2}+E-3=0}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{D=2}\\{E=4}\\{F=-5}\end{array}}\right.$
∴所求圆的方程为：x²+y²+2x+4y-5=0…（6分）

点评 本题考查圆的方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于中档题．