Question

15．函数f（x）=$\sqrt{2}sinx•cos（x+\frac{π}{4}）$，则$f（\frac{π}{2}）$=-1，f（x）的值域是$[-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$．

Answer 1

分析 利用余弦加法定理、二倍角公式和三角函数恒等式求出f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，由此能求出f（$\frac{π}{3}$）和f（x）的值域．

解答 解：∵f（x）=$\sqrt{2}sinx•cos（x+\frac{π}{4}）$
=$\sqrt{2}sinx$（cosxcos$\frac{π}{4}$-sinxsin$\frac{π}{4}$）
=sinx（cosx-sinx）
=sinxcosx-sin²x
=$\frac{1}{2}sin2x$-$\frac{1-cos2x}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$，
∴$f（\frac{π}{2}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（π+\frac{π}{4}）-\frac{1}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-1．
f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{1}{2}$的值域为$[-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$．
故答案为：-1，$[-\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}]$．

点评 本题考查三角函数的值域的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦加法定理、二倍角公式和三角函数恒等式的合理运用．