Question

17．已知向量序列：$\overrightarrow{a_1}$，$\overrightarrow{a_2}$，$\overrightarrow{a_3}$，…$\overrightarrow{a_n}$，…满足如下条件：$|{\overrightarrow{a_1}}|=2$，$|{\overrightarrow d}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow d=-1$，且$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=\overrightarrow d$（n=2，3，4，…），则$|{\overrightarrow{a_1}}|$，$|{\overrightarrow{a_2}}|$，$|{\overrightarrow{a_3}}|$，…，$|{\overrightarrow{a_n}}|$，…中第5项最小．

Answer 1

分析 由题意得到$\overrightarrow{{a}_{k}}={a}_{1}+（k-1）\overrightarrow{d}$，从而|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²=[$\overrightarrow{{a}_{1}}+（n-1）\overrightarrow{d}$]²=$\frac{1}{8}（n-5）^{2}+2$．由此能求出结果．

解答 解：∵$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}=\overrightarrow d$，∴$\overrightarrow{{a}_{k}}=\overrightarrow{{a}_{1}}+（k-1）\overrightarrow{d}$，
∵$|{\overrightarrow{a_1}}|=2$，$|{\overrightarrow d}|=\frac{{\sqrt{2}}}{4}$，$2\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow d=-1$，
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{d}$=-$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²=[$\overrightarrow{{a}_{1}}+（n-1）\overrightarrow{d}$]²=${\overrightarrow{{a}_{1}}}^{2}+（n-1）^{2}{\overrightarrow{d}}^{2}+2（n-1）\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{d}$
=4+$\frac{1}{8}（n-1）^{2}$-（n-1）
=$\frac{1}{8}$（n-5）²+2．
∴当n=5时，|$\overrightarrow{{a}_{n}}$|²取最小值，即|$\overrightarrow{{a}_{5}}$|取小．
故答案为：5．

点评 本题考查数列的应用，是中档题，涉及到平面向量、二次函数、数列等知识点的合理运用．