Question

4．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项为S_n，满足a²_n+1=2s_n+n+4，且a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）令${c_n}=\frac{{{a_n}-1}}{b_n}$，数列{c_n}的前n项和为T_n，且${T_n}＞\frac{m-1}{2}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据条件得出a²_n+1=2S_n+n+4，①和a²_n=2S_n-1+n+3，②，通过两式相减得到a_n+1=a_n+1，即为等差数列，再求b_n的通项；
（2）先运用错位相减法求得c_n的前n项和T_n，再用作差法判断单调性，最后求m的范围．

解答 （1））∵a²_n+1=2S_n+n+4，------------①
∴n≥2时，a²_n=2S_n-1+n-1+4，---------②
①-②，得：a_n+1²-a_n²=2a_n+1，∴a_n+1²=a_n²+2a_n+1=（a_n+1）²，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+1，
因此，数列{a_n}是公差为1的等差数列，
又a₂=a₁+1，a₂²=2a₁+1+4，解得a₁=2或a₁=-2（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{bn}的前3项，
∴b₁=2+1-1=2，b₂=a₃=3+1=4，b₃=a₇=7+1=8，∴q=2，
∴b_n=2×2^n-1=2ⁿ，
所以，a_n=n+1，b_n=2ⁿ；
（2）根据题意，c_n=$\frac{{a}_{n}-1}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{2^n}$，
运用错位相减法得T_n=2-$\frac{n+2}{2^n}$，下面证明T_n单调递增，
T_n+1-T_n=（2-$\frac{n+3}{{2}^{n+1}}$）-（2-$\frac{n+2}{2^n}$）
=$\frac{1}{{2}^{n+1}}$[（2n+4）-（n+3）]
=$\frac{n+1}{{2}^{n+1}}$＞0恒成立，所以，所以{T_n}单调递增，
所以，要使T_n＞$\frac{m-1}{2}$恒成立，
只需满足T₁＞$\frac{m-1}{2}$即可，解得，m＜2．
因此，实数m的取值范围为（-∞，2）．

点评 本题主要考查了数列通项公式和前n项和的求法，涉及等差数列和等比数列的定义和性质，以及错位相减法的应用和单调性的证明，属于中档题．