Question

13．有下列命题：
①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$的图象关于点（-1，1）对称；
③关于x的方程ax²-2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1；
④满足条件AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1的三角形△ABC有一个．
其中真命题的序号是①④．

Answer 1

分析 化简函数的解析式，结合余弦函数的对称性，可判断①；分析出函数对称中心坐标，可判断②；根据一元一次方程也只有一个实根，可判断③；判断三角形解的个数，可判断④．

解答 解：①$y=cos（x-\frac{π}{4}）cos（x+\frac{π}{4}）$=$\frac{1}{2}$（cos²x-sin²x）=$\frac{1}{2}$cos2x，
当x=$\frac{π}{2}$时，y取最小值，故函数的图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称，故正确；
②y=$\frac{x+3}{x-1}$=$\frac{4}{x-1}$+1的图象由y=$\frac{4}{x}$的图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，故关于点（1，1）对称，故错误；
③关于x的方程ax²-2x+a=0有且仅有一个实根，则a=±1，或a=0，故错误；
④AC=$\sqrt{3}$，∠B=60°，AB=1时，sin∠C=$\frac{1}{2}$且∠C＜∠B，此时三角形只有一解，故正确．
故正确的命题有：①④，
故答案为：①④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的对称性，类一元二次方程根的个数，解三角形等知识点，难度中档．