Question

18．设集合A={x||x-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$}，B={t|t²+2（a+1）t+a²-5=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出A={1，2}，由A∩B={2}，得4+4（a+1）+a²-5=0，由此能求出实数a的值．
（2）由A∩B=B，得B=∅，或B={1}，或B={2}，或B={1，2}，分别讨论，能求出实数a的取值范围．

解答 解：（1）A={x||x-$\frac{3}{2}$|=$\frac{1}{2}$}={1，2}，
B={t|t²+2（a+1）t+a²-5=0}，
∵A∩B={2}，∴2是方程t²+2（a+1）t+a²-5=0的根
所以4+4（a+1）+a²-5=0，
解得a=-1或a=-3
当a=-1时B={t|t²-4=0}={-2，2}，符合
当a=-3时B={t|t²-4t+4=0}={2}，符合
∴实数a的值为-1或-3．
（2）∵A∩B=B，∴B=∅，或B={1}，或B={2}，或B={1，2}，
①当B=∅时，
△=4（a+1）²-4（a²-5）＜0，解得a＜-3；
②当B={1}时，$\left\{\begin{array}{l}{△=4（a+1）^{2}-4（{a}^{2}-5）=0}\\{1+2（a+1）+{a}^{2}-5=0}\end{array}\right.$，无解；
③当B={2}时，$\left\{\begin{array}{l}{△=4（a+1）^{2}-4（{a}^{2}-5）=0}\\{4+4（a+1）+{a}^{2}-5=0}\end{array}\right.$，解得a=-3．
③当B={1，2}时，$\left\{\begin{array}{l}{△=4（a+1）^{2}-4（{a}^{2}-5）＞0}\\{1+2=-2（a+1）}\\{1×2={a}^{2}-5}\end{array}\right.$，无解．
综上，实数a的取值范围是（-∞，-3]．

点评 本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质和分类讨论思想的合理运用．