Question

14．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，且f（a₂-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（a₂₀₁₄-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则S₂₀₁₅=4030．

Answer 1

分析 f（x）在R上为奇函数，从而得到a₂+a₄=4，由此利用等差数列性质能求出S₂₀₁₅．

解答 解：∵f（x）=$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，
∴$f（-x）=\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-f（x），
∴f（x）在R上为奇函数，
∵f（a₂-2）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（a₂₀₁₄-2）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴a₂-2=-（a₂₀₁₄-2），即a₂+a₂₀₁₄=4，
∴S₂₀₁₅=$\frac{2015}{2}（{a}_{1}+{a}_{2015}）$=$\frac{2015}{2}（{a}_{2}+{a}_{2014}）$=4030．
故答案为：4030．

点评 本题考查等差数列前2015项和的求法，是中档题，解题时要注意函数的奇偶性和等差数列性质的合理运用．