Question

5．在直角坐标系xoy中，已知点A，B，C是圆x²+y²=4上的动点，且满足AC⊥BC，若点P的坐标为（0，3），则|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的最大值为11．

Answer 1

分析 由AC⊥BC，AB为直径，可设A（-2，0），B（2，0），C（m，n），且m²+n²=4，求得|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|，可得几何意义，即为圆上的点与（0，9）的距离，连接PO，延长交圆于D，计算即可得到所求最大值．

解答 解：由AC⊥BC，AB为直径，可设A（-2，0），B（2，0），
C（m，n），且m²+n²=4，
点P的坐标为（0，3），
即有|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|=|（-2，-3）+（2，-3）+（m，n-3）|
=|（m，n-9）|=$\sqrt{{m}^{2}+（n-9）^{2}}$表示圆上的点与（0，9）的距离，
连接PO，延长交圆于D，|PD|即为最大值，
且为9+2=11．
故答案为：11．

点评 本题考查向量的模的最大值，注意运用两点的距离，结合图形分析，考查运算能力，属于中档题．