Question

2．已知$\left\{{\overrightarrow i，\overrightarrow j，\overrightarrow k}\right\}$是空间的一个单位正交基底，且$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow i+\overrightarrow k，\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow j$，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{2}$
• C． 5
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知得$\overrightarrow{OA}=（2，0，1），\overrightarrow{OB}=（0，2，0）$，由此能求出△OAB（O为坐标原点）的面积．

解答 解：∵$\left\{{\overrightarrow i，\overrightarrow j，\overrightarrow k}\right\}$是空间的一个单位正交基底，且$\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow i+\overrightarrow k，\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow j$，
∴$\overrightarrow{OA}=（2，0，1），\overrightarrow{OB}=（0，2，0）$，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$，∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴△OAB（O为坐标原点）的面积S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{OA}|•|\overrightarrow{OB}|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2$=$\sqrt{5}$．
故选：D．

点评 本题考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算、三角形面积公式的合理运用．