Question

18．关于函数f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$，给出下列四个命题：
①当x＞0时，y=f（x）单调递减且没有最值；
②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
③如果方程f（x）=k有解，则解的个数一定是偶数；
④y=f（x）是偶函数且有最小值，
则其中真命题是②．（只要写标题号）

Answer 1

分析 ①x＞0时，由x≠1知y=f（x）不具有单调性，判定命题错误；
②函数f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函数，在x＞0且k＞0时，判定函数y=f（x）与y=kx在第一象限内有交点；由对称性知，x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内有交点；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；
③函数f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函数，且f（x）=0，举例说明k=0时，方程f（x）=k有1个解；
④函数f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函数，由①，即可判断结论是否正确．

解答 解：①当x＞1时，y=f（x）=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$在区间（1，+∞）上是单调递减的函数，
0＜x＜1时，y=f（x）=-$\frac{x}{x-1}$=-1-$\frac{1}{x-1}$在区间（0，1）上是单调递增的函数
且无最值；
∴命题①错误；
②函数f（x）=f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函数，当x＞0时，y=f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；
当k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第一象限内一定有交点；
由对称性知，当x＜0且k＞0时，函数y=f（x）与y=kx在第二象限内一定有交点；
∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
∴命题②正确；
③∵函数f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函数，且f（x）=0，当k=0时，函数y=f（x）与y=k的图象只有一个交点，∴方程f（x）=k的解的个数是奇数；∴命题③错误；
④∵函数f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函数，x≠±1，
当x＞0时，y=f（x）在区间（0，1）上是单调递增的函数，（1，+∞）上是单调递减的函数；
由对称性知，函数f（x）无最小值，命题④错误．
故答案为：②．

点评 本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题，解题时应先去掉绝对值，化为分段函数，把分式函数分离常数，是易错题．