Question

8．已知函数f（x）=x²+lgx，当x∈[2，4]时，总有f（9）-f（2kx-x²）≥0，则实数k的最大值为3．

Answer 1

分析 易知f（x）=x²+lgx在[2，4]单调递增，f（9）-f（2kx-x²）≥0等价于k≤$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{2x}$，在[2，4]上恒成立，根据基本不等式即可求出k的最值．

解答 解：易知f（x）=x²+lgx在[2，4]单调递增，
∵f（9）-f（2kx-x²）≥0，
∴9≥2kx-x²，在[2，4]上恒成立，
∴k≤$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{2x}$，在[2，4]上恒成立，
∵$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{2x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{2}•\frac{9}{2x}}$=3，当且仅当$\frac{x}{2}$=$\frac{9}{2x}$即x=3时取等号，
∴k≤3，
∴则实数k的最大值为3，
故答案为：3．

点评 本题考查了参数的取值范围以及基本不等式，关键是分离参数，属于中档题．