Question

20．若${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，且${a}^{\frac{3}{2}}$+${a}^{-\frac{3}{2}}$=k（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$），则实数k的值为（　　）

• A． 10
• B． 8
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 利用有理数指数幂性质、运算法则、完全平方公式、立方和公式求解．

解答 解：∵${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$=3，且${a}^{\frac{3}{2}}$+${a}^{-\frac{3}{2}}$=k（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$），
∴（${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$）²=a+a^-1-2=9，∴a+a^-1=11，
∴${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}）^{2}}$=$\sqrt{a+{a}^{-1}+2}$=$\sqrt{13}$，
∴${a}^{\frac{3}{2}}$+${a}^{-\frac{3}{2}}$=（${a}^{\frac{1}{2}}+{a}^{-\frac{1}{2}}$）（a+a^-1-1）=$\sqrt{13}$（11-1）=10$\sqrt{13}$，
∴k=10．
故选：A．

点评 本题考查有理数指数幂的化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则、完全平方公式、立方和公式的合理运用．