Question

9．已知点M（-2，4）及焦点为F的抛物线y=$\frac{1}{8}$x²，在抛物线上求一点P，使|PM|+|PF|的值最小．

Answer 1

分析 根据抛物线的标准方程 求出焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义可得|PM|+|PF|=|PM|+|PA|≥|AM|，故|AM|（A到准线的距离）为所求．

解答 解：抛物线y=$\frac{1}{8}$x²的标准方程为x²=8y，p=4，焦点F（0，2），准线方程为y=-2．
设P到准线的距离为PA，（即PA垂直于准线，A为垂足），
则|PM|+|PF|=|PM|+|PA|≥|AM|=6，（当且仅当P、A、M共线时取等号），
x=-2，代入y=$\frac{1}{8}$x²，可得P（-2，$\frac{1}{2}$），|PM|+|PF|的值最小为6．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，得到|PM|+|PF|=|PM|+|PA|≥|AM|是解题的关键．