Question

1．已知曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，定点M（1，0），直线l经过点（0，1），斜率为t，与曲线C交于不同的两点A、B，设AB的中点为P，求直线MP的斜率k关于t的函数关系k=f（t）．

Answer 1

分析 设直线l的方程为y=tx+1，P（x，y），则k=$\frac{y}{x-1}$=$\frac{tx+1}{x-1}$=t+$\frac{t+1}{x-1}$，y=tx+1代入曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得（2-t²）x²-2tx-9=0，求出P的横坐标，即可得出结论．

解答 解：设直线l的方程为y=tx+1，P（x，y），则k=$\frac{y}{x-1}$=$\frac{tx+1}{x-1}$=t+$\frac{t+1}{x-1}$，
y=tx+1代入曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1，可得（2-t²）x²-2tx-9=0，
∵AB的中点为P，
∴x=$\frac{2t}{2-{t}^{2}}$，
∴k=t+$\frac{t+1}{\frac{2t}{2-{t}^{2}}-1}$=$\frac{{t}^{2}+2}{{t}^{2}+2t-2}$．

点评 本题考查曲线与方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．