Question

3．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，则b+c的取值范围是（3，2$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 由内角和定理，可得B+C=120°，由正弦定理，可得b+c=2（sinB+sinC），运用两角和差的正弦公式，结合余弦函数的值域，即可得到所求范围．

解答 解：由题意，B+C=120°，
由正弦定理可得2R=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
即有b=2sinB，c=2sinC，
令B=60°+α，C=60°-α，（-30°＜α＜30°），
则b+c=2（sinB+sinC）
=2[sin（60°+α）+sin（60°-α）]
=4sin60°cosα=2$\sqrt{3}$cosα，
由-30°＜α＜30°，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosα≤1，
即有b+c的范围为（3，2$\sqrt{3}$]．
故答案为：（3，2$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的化简和求值，余弦函数的值域，属于中档题．．