Question

18．已知tan（α-$\frac{β}{2}$），tan（$\frac{α}{2}$+β）是一元二次函数x²-5x+6=0的两根，求tan（$\frac{3α}{2}$+$\frac{β}{2}$）的值．

Answer 1

分析 根据韦达定理可以得到解方程可得tan（α-$\frac{β}{2}$）+tan（$\frac{α}{2}$+β）=5，tan（α-$\frac{β}{2}$）•tan（$\frac{α}{2}$+β）=6，代入两角和的正切公式计算可得其值．

解答 解∵tan（α-$\frac{β}{2}$），tan（$\frac{α}{2}$+β）是一元二次函数x²-5x+6=0的两根，
∴tan（α-$\frac{β}{2}$）+tan（$\frac{α}{2}$+β）=5，tan（α-$\frac{β}{2}$）•tan（$\frac{α}{2}$+β）=6，
∴tan（$\frac{3α}{2}$+$\frac{β}{2}$）=tan[（α-$\frac{β}{2}$）+tan（$\frac{α}{2}$+β）]=$\frac{tan（a-\frac{β}{2}）+tan（\frac{α}{2}+β）}{1-tan（α-\frac{β}{2}）tan（\frac{α}{2}+β）}$=$\frac{5}{1-6}$=-1．

点评 本题考查两角和与差的正切函数公式，涉及一元二次方程和分类讨论的思想，属基础题．