Question

13．已知函数f（x）=sin（x+$\frac{7}{4}$π）+cos（x-$\frac{3}{4}$π），x∈R
（1）求f（x）的最小正周期和最小值
（2）已知cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，求[f（β）]²的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（x-$\frac{π}{4}$），可得最小正周期和最小值；
（2）由题意和同角三角函数基本关系可得sin（β-α）=$\frac{3}{5}$，sin（β+α）=$\frac{3}{5}$，由三角函数公式可得[f（β）]²=2-2sin（β+α）cos（β-α）-2cos（β+α）sin（β-α），代值计算可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（x+$\frac{7}{4}$π）+cos（x-$\frac{3}{4}$π）
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx=$\sqrt{2}$sinx-$\sqrt{2}$cosx=2sin（x-$\frac{π}{4}$）
∴f（x）的最小正周期T=2π，最小值为-$\sqrt{2}$；
（2）∵0＜α＜β≤$\frac{π}{2}$，∴0＜β-α＜$\frac{π}{2}$，0＜β+α＜π，
又∵cos（β-α）=$\frac{4}{5}$，cos（β+α）=-$\frac{4}{5}$，
∴sin（β-α）=$\frac{3}{5}$，sin（β+α）=$\frac{3}{5}$，
∴[f（β）]²=[2sin（β-$\frac{π}{4}$）]²=4sin²（β-$\frac{π}{4}$）]
=2[1-cos（2β-$\frac{π}{2}$）]=2-2sin2β
=2-2sin[（β+α）+（β-α）]
=2-2sin（β+α）cos（β-α）-2cos（β+α）sin（β-α）
=2-2×$\frac{3}{5}$×$\frac{4}{5}$-2×（-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{5}$=2

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和和差角的三角函数，属中档题．