Question

1．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为$\frac{28π}{3}$．

Answer 1

分析 根据几何体的三视图，得该几何体是棱长为2的正三棱柱，画出图形，
结合图形求出该三棱柱的外接球的球心与半径，即可求出外接球的表面积．

解答 解：根据几何体的三视图，得该几何体是正三棱柱，
且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高也是2，
如图所示；
设上下底面中心连线EF的中点为O，则O是外接球的球心，
则其外接球的半径为OA₁，又设D为A₁C₁中点，
在直角三角形EDA₁中，EA₁=$\frac{{A}_{1}D}{sin60°}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，
在直角三角形ODA₁中，OE=$\frac{{AA}_{1}}{2}$=1，
由勾股定理得R=OA₁=$\sqrt{{（\frac{2}{\sqrt{3}}）}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
∴球的表面积为S=4π•${（\sqrt{\frac{7}{3}}）}^{2}$=$\frac{28π}{3}$．
故答案为：$\frac{28π}{3}$．

点评 本题考查了空间几何体中位置关系、球和正棱柱的性质以及相应的运算能力和空间形象能力．