Question

11．已知圆心为C的圆经过A（0，1）和B（3，4），且圆心C在直线l：x+2y-7=0上．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求过原点且与圆C相切的直线方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设圆心坐标为（7-2a，a），则（7-2a）²+（a-1）²=（7-2a-3）²+（a-4）²，求出a，可得圆心坐标为（1，3），半径为$\sqrt{5}$，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）设过原点且与圆C相切的直线方程为y=kx，利用圆心到直线的距离为d=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，求出k，即可求过原点且与圆C相切的直线方程．

解答 解：（Ⅰ）设圆心坐标为（7-2a，a），则（7-2a）²+（a-1）²=（7-2a-3）²+（a-4）²，
∴a=3，
∴圆心坐标为（1，3），半径为$\sqrt{5}$
∴圆C的标准方程为（x-1）²+（y-3）²=5；
（Ⅱ）设过原点且与圆C相切的直线方程为y=kx，
则圆心到直线的距离为d=$\frac{|k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{5}$，
∴k=-2或$\frac{1}{2}$，
∴过原点且与圆C相切的直线方程为y=-2x或y=$\frac{1}{2}$x．

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．