Question

6．已知函数f（x）=|3x+2|-|2x+a|
（I）若f（x）≥0对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（x）≤0在x∈[1，2]有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）①当-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{2}{3}$，化简函数的解析式，根据函数的最小值求得a的范围；②当-$\frac{a}{2}$≥-$\frac{2}{3}$，化简函数的解析式，根据函数的最小值求得a的范围，综合可得实数a的取值范围．
（Ⅱ）分类讨论求得f（x）在[1，2]上的最小值，再根据此最小值小于或等于零，求得a的范围．

解答 解：（I）①当-$\frac{a}{2}$＜-$\frac{2}{3}$，即 a＞$\frac{4}{3}$时，函数f（x）=|3x+2|-|2x+a|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2+a，x＜-\frac{a}{2}}\\{-5x-2-a，-\frac{a}{2}≤x≤-\frac{2}{3}}\\{x+2-a，x＞-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值为f（-$\frac{2}{3}$）=$\frac{4}{3}$-a，由 $\frac{4}{3}$-a≥0求得a≤$\frac{4}{3}$（与a＞$\frac{4}{3}$矛盾）．
②当-$\frac{a}{2}$≥-$\frac{2}{3}$，即 a≤$\frac{4}{3}$时，函数f（x）=|3x+2|-|2x+a|=$\left\{\begin{array}{l}{-x-2+a，x＜-\frac{2}{3}}\\{5x+2+a，-\frac{2}{3}≤x≤-\frac{a}{2}}\\{x+2-a，x＞-\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，
故f（x）的最小值为f（-$\frac{2}{3}$）=5•（-$\frac{2}{3}$）+2+a=a-$\frac{4}{3}$，由 a-$\frac{4}{3}$≥0求得a≥$\frac{4}{3}$，
再结合 a≤$\frac{4}{3}$，可得a=$\frac{4}{3}$．
（Ⅱ）由于当①a＞$\frac{4}{3}$时，在（-$\frac{2}{3}$，+∞）上，函数f（x）单调递增，f（x）≤0在[1，2]上有解，
在[1，2]上，f（x）=x+2-a的最小值f（1）=1+2-a≤0，求得a≥3，综合可得a≥3．
②当a≤$\frac{4}{3}$时，在（-$\frac{2}{3}$，+∞）上，函数f（x）单调递增，由于f（x）≤0在[1，2]上有解，
故它的最小值f（1）≤0．
若-$\frac{a}{2}$≤1，即 a≥-2，即-2≤a≤$\frac{4}{3}$时，它的最小值f（1）=1+2-a＜0，求得a＞3，与-2≤a≤$\frac{4}{3}$矛盾．
若2≥-$\frac{a}{2}$＞1，即-4≤a＜-2，f（x）的最小值为f（1）=5+2+a，由5+2+a≤0，求得a≤-7，
故此时a无解．
若-$\frac{a}{2}$＞2，即a＜-4，f（x）的最小值为f（1）=5+2+a，由5+2+a≤0，求得a≤-7，
故此时，a≤-7．
综上可得，实数a的范围为[3，+∞）∪[-∞，-7]．

点评 本题主要考查分段函数的应用，函数的恒成立与函数的能成立问题，属于难题．