Question

16．已知函数f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对的三边，若a是b与c的等比中项，求f（A）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式和诱导公式以及两角差的正弦公式，即可化简f（x），根据三角形函数的单调性即可求出f（x）的单调区间，
（Ⅱ）利用余弦定理表示出cosA，进而利用基本不等式求得cosA的范围，则A的范围可得．利用正弦函数单调性即可求出函数的值域．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²（$\frac{π}{4}$+x）-$\sqrt{3}$cos2x=1-cos（$\frac{π}{2}$+2x）-$\sqrt{3}$cos2x=sin（2x）-$\sqrt{3}$cos2x+1=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{5π}{12}$+kπ]，k∈Z，
（Ⅱ）∵a是b与c的等比中项，
∴a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$≥$\frac{2bc-bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{π}{3}$＜2A-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{3}$，
∴-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜sin（2A-$\frac{π}{3}$）≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴1-$\sqrt{3}$＜2sin（2A-$\frac{π}{3}$）+1≤1+$\sqrt{3}$，
∴f（A）的值域为（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查余弦定理，倍角公式、诱导公式和角公式以及三角函数值域求法．考查了基础知识的应用．