Question

5．正项数列{a_n}中，a₁=2，a${\;}_{n+1}^{2}$+a_n+1a_n-6a²_n+3a_n+1-a_n+2=0，则通项公式是a_n=2^n-1+1．

Answer 1

分析 由递推公式依次求出数列的前4项，由此能猜想出数列的通项公式．

解答 解：∵正项数列{a_n}中，a₁=2，a${\;}_{n+1}^{2}$+a_n+1a_n-6a²_n+3a_n+1-a_n+2=0，
∴${{a}_{2}}^{2}+5{a}_{2}-24=0$，解得a₂=3，或a₂=-8（舍），
∴${{a}_{3}}^{2}+6{a}_{3}-55=0$，解得a₃=5，或a₃=-11（舍），
∴${{a}_{4}}^{2}+8{a}_{4}-153$=0，解得a₄=9，或a₄=-17．
a₂-a₁=1，a₃-a₂=2，…，a_n-a_n-1=2^n-2，
累加可得：a_n=2+2⁰+2+2²+…+2^n-2=2+$\frac{1-{2}^{n-1}}{1-2}$=2^n-1+1．
∴a_n=2^n-1+1．
故答案为：a_n=2^n-1+1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思想的合理运用．